Mengidentifikasi Sifat Operasi Hitung

Dalam matematika, operasi hitung bilangan mencakup penjumlahan, perkalian, pengurangan, dan pembagian. Keempat operasi hitung tersebut memiliki sifat-sifat yang akan dibahas pada bagian ini.

1. Sifat Pertukaran (Komutatif)

Perhatikan tabel penjumlahan di bawah ini!

Dari tabel di atas, cermatilah pertanyaan-pertanyaan berikut ini!

• Apakah 1 + 3 hasilnya sama dengan 3 + 1?
• Apakah 4 + 6 hasilnya sama dengan 6 + 4?
• Apakah 7 + 9 hasilnya sama dengan 9 + 7?

Mari kita lihat hasilnya!

• 1 + 3 = 4
  3 + 1 = 4
  Jadi, 1 + 3 = 3 + 1
• 4 + 6 = 10
  6 + 4 = 10
  Jadi, 4 + 6 = 6 + 4
• 7 + 9 = 16
  9 + 7 = 16
  Jadi, 7 + 9 = 9 + 7

Ternyata hasil penjumlahan tetap sama dengan suku yang dibalik (ditukar).

Sekarang perhatikan tabel operasi hitung perkalian di bawah ini!

Dari tabel di atas, cermatilah pertanyaan-pertanyaan berikut ini!

• Apakah 4 x 2 hasilnya sama dengan 2 x 4?
• Apakah 5 x 7 hasilnya sama dengan 7 x 5?
• Apakah 1 x 9 hasilnya sama dengan 9 x 1?

Mari kita lihat hasil dari tabel perkalian di atas!

• 4 x 2 = 8
  2 x 4 = 8
  Jadi, 4 x 2 = 2 x 4
• 5 x 7 = 35
  7 x 5 = 35
  Jadi, 5 x 7 = 7 x 5
• 1 x 9 = 9
  9 x 1 = 9
  Jadi, 1 x 9 = 9 x 1

Seperti pada penjumlahan, ternyata perkalian dengan suku yang dibalik tidak mengubah hasilnya. Sifat seperti itulah yang disebut sifat pertukaran atau sifat komutatif.

Dalam penjumlahan dan perkalian bilangan berlaku sifat pertukaran atau sifat komutatif, yaitu:

a + b = b + a
a x b = b x a

2. Sifat Pengelompokan (Asosiatif)

Setelah mengenal sifat komutatif, berikutnya akan dibahas sifat asosiatif. Bagaimanakah sifat asosiatif itu?

Untuk menyelidiki sifat asosiatif, kerjakan operasi penjumlahan dan perkalian tiga bilangan di bawah ini!

• 4 + 6 + 8
• 2 x 5 x 3

Coba hitung dari dua sisi, yaitu dari kiri dan dari kanan!

• 4 + 6 + 8
  Menjumlahkan dari kiri:
  4 + 6 + 8 = (4 + 6) + 8 = 10 + 8 = 18
  Menjumlahkan dari kanan:
  4 + 6 + 8 = 4 + (6 + 8) = 4 + 14 = 18
  Ternyata diperoleh hasil yang sama.
  Jadi, (4 + 6) + 8 = 4 + (6 + 8)

• 2 x 5 x 3
  Mengalikan dari kiri:
  2 x 5 x 3 = (2 x 5) x 3 = 10 x 3 = 30
  Mengalikan dari kanan:
  2 x 5 x 3 = 2 x (5 x 3) = 2 x 15 = 30
  Ternyata diperoleh hasil yang sama.
  Jadi, (2 x 5) x 3 = 2 x (5 x 3)

Nah, sifat seperti itulah yang disebut sifat asosiatif. Untuk latihan, selidikilah beberapa penjumlahan dan perkalian tiga bilangan yang lain.

Dalam penjumlahan dan perkalian bilangan berlaku sifat pengelompokan atau sifat asosiatif, yaitu:

(a + b) + c = a + (b + c)
(a x b) x c = a x (b x c)

3. Sifat Penyebaran (Distributif)

Apakah sifat penyebaran atau distributif itu? Untuk mempermudah mempelajarinya, perhatikan contoh masalah di bawah ini!

Ema dan Menik pergi ke pasar buah membeli jeruk. Mereka masing-masing membeli 4 kilogram dan 5 kilogram. Setiap kilogram terdiri atas 8 buah jeruk. Berapa banyaknya buah jeruk yang mereka beli?

Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, ikuti cara-cara berikut ini!

• Cara 1
  Banyaknya buah jeruk yang dibeli Ema dan Menik adalah:
  4 kilogram + 5 kilogram = 9 kilogram. Setiap kilogram jeruk terdiri atas 8 buah, maka banyaknya jeruk yang dibeli Ema dan Menik adalah:
  (4 + 5) x 8 = 9 x 8 = 72 buah

• Cara 2
  Banyaknya jeruk yang dibeli Ema = 4 x 8 = 32 buah
  Banyaknya jeruk yang dibeli Menik = 5 x 8 = 40 buah
  Banyaknya jeruk yang dibeli Ema dan Menik = 34 + 40 = 72 buah
  Jika ditulis dalam kalimat matematika menjadi:
  (4 x 8) + (5 x 8) = 32 + 40 = 72

Bisa kita lihat bahwa hasil dari cara 1 dan cara 2 adalah sama. Dari hasil ini dapat kita tuliskan:
8 x (4 + 5) = (8 x 5) + (8 x 4)

Sifat seperti itulah yang disebut sifat pengelompokan atau sifat distributif. Sifat ini berlaku pada gabungan operasi perkalian dan penjumlahan.

Selain pada gabungan operasi perkalian dan penjumlahan, sifat distributif juga berlaku untuk operasi perkalian dan pengurangan.

Dari contoh diatas dapat dituliskan sifat penyebaran atau sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan perkalian terhadap pengurangan sebagai berikut:

a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
a x (b - c) = (a x b) - (a x c)

4. Menggunakan Sifat-Sifat Operasi Hitung

Sifat-sifat operasi bilangan sebagaimana telah pelajari di atas ternyata sangat membantu untuk mempermudah perhitungan pada operasi hitung bilangan bulat

Contoh:

• 216 + 300 = 300 + 216 (sifat komutatif)
  = 516
• (4 x 5) x 20 = 4 x (5 x 20) (sifat asosiatif)
  = 4 x 100
  = 400
• (9 x 13) - (9 x 3) = 9 x (13 - 3) (sifat distributif)
  = 9 x 10
  = 90
• 25 x 999 = 25 x (1.000 - 1)
  = (25 x 1.000) - (25 x 1) (sifat distributif)
  = 25.000 - 25
  = 24.975
• 200 + 416 + 300 = 200 + 300 + 416 (sifat komutatif)
  = (200 + 300) + 416 (sifat asosiatif)
  = 500 + 416
  = 916

Dengan sifat komutatif, bilangan 300 dapat ditukar tempatnya dengan bilangan 416. Kemudian bilangan 200 dan 300 dikelompokkan. Sehingga penjumlahan lebih mudah dilakukan.